Explicación Parábola

PARABOLA

PARÁBOLA

Es la selección cónica de excentricidad igual al resultante de cortar un cono recto como un plano cuyo angulo de inclinación respecto al eje de revolución del cono ser igual  al presentado por su generatriz. El plano resultara por lo tanto paralelo a dicha recta 

Las parábolas aparecen en  diferentes situaciones de la vida cotidiana se puede aparecer claramente cuando lanzamos un balón bombeado o golpeamos una pelota de tenis en la curva que le escriben la pelota en su movimiento se puede ver que se trata de una trayectoria parabólica.Al dibujar este desplazamiento,podemos considerar esta parábola como la representación gráfica de una  función que asigna a cada desplazamiento horizontal "X" la altura "Y"  alcanzada  por la pelota

ELEMENTOS

• Vértice (V) punto de la parábola que coincide con el eje bocal
• Eje focal (EF):linea recta que divide simétricamente a la parábola en dos brazos pasa por el vértice. 
• Foco(F) punto fijo de referencia que no pertenece ala parábola y que se ubica en el eje focal al interior de los brazos de la misma y aúna distancia p del vértice
• Directriz (d) linea recta perpendicular al eje focal que se ubica a una distancia p del vértice y fuera de los brazos de parábola.

• distancia focal p parámetro que indican la magnitud de la distancia entre vértice y foco así como entre vértice y directriz  ambas distancias son iguales.
• cuerda : segmento de recta que une dos puntos cualquiera perteneciente a la parábola.
• cuerda focal : cuerda que pasa por el foco.
• lado recto(lr): cuerda focal que es perpendicular al eje.

para ilustrar las de definiciones  anteriores miremos la siguiente gráfica

 

En el plano cartesiano una parábola puede tener su vértice en cualquier par de cordillera y puedes estar orientada asía arriba asía bajo o asía la izquierda o ala derecha 

ECUACIONES

Parabola tipo y= ax al cuadrado 

TRABAJO ESCRITO PARÁBOLA

     FRANK DAVID LAGUNA 

    LUISA RIVERA HART 

   VANESA ALVARES 

    ALBEIRO MARTINEZ 

     PRESENTADO: ELVELENA  RIOS SILVA 

TRABAJO: PARÁBOLA 

         INSTITUCIÓN EDUCATIVA LICEO MODERNO 

MATEMÁTICAS

10°02

 2015 

INTRODUCCIÓN

Las parábolas aparecen en diferentes situaciones de la vida cotidiana , se puede apreciar claramente cuando lanzamos un balón bombeado o golpeamos una pelota de tenis . en la curva que describe la pelota en su movimiento se puede ver que se trata de una trayectoria parabólica.

en términos generales  se podría describir definir la la parábola como la sección cónica que se tiene al cortar la superficie cónica con un plano paralelo a una generatriz .

la parabola es una de lasa curvas cónica más utilizadas en la tecnología actual       

OBJETIVO GENERAL 

Identificar y aplicar las propiedades relacionas con el lugar geométrico llamado parábola , determinando los distintos parámetros, su ecuación respectiva y viceversa   

 

OBJETIVO ESPECÍFICOS

1. Reconocer la forma de la parábola 
2. Caracterizar metricamente e identificar sus elementos  
3. Manejar e interpretar sus ecuaciones y propiedades más características 
4. Identificar la parábola en diferentes contextos cuando aparecen como lugares geométricos
5. reconocer la importancia de las cónicas en la ciencia y la técnica  

DIAPOSITIVAS DE LA PARÁBOLA

QUE ES UNA PARÁBOLA?

Es la sección cónica de excentricidad igual a 1, resultante de cortar un cono recto con un plano cuyo ángulo de inclinación respecto al eje de revolución del cono sea igual al presentado por su generatriz. Se define también como el lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de una recta llamada directriz, y un punto exterior a ella llamado foco.

ELEMENTOS

•Esta forma geométrica, la parábola, expresada como una ecuación, cuenta con una serie de elementos o parámetros que son básicos para su descripción, y son:

•Vértice (V): Punto de la parábola que coincide con el eje focal (llamado también eje de simetría).

•Eje focal (o de simetría) (ef): Línea recta que divide simétricamente a la parábola en dos brazos  y pasa por el vértice.

•Foco (F): Punto fijo de referencia, que no pertenece a la parábola y que se ubica en el eje focal al interior de los brazos de la misma y a una distancia p del vértice.

•Directriz (d):  Línea recta perpendicular al eje focal que se ubica a una distancia p del vértice y fuera de los brazos de la parábola.

•Distancia focal   (p): Parámetro que indica la magnitud de la distancia entre vértice y foco, así como entre vértice y directriz (ambas distancias son iguales).

•Cuerda: Segmento de recta que une dos puntos cualesquiera, pertenecientes a la parábola.

•Cuerda focal: Cuerda que pasa por el foco.

•Lado recto  (LR): Cuerda focal que es perpendicular al eje focal.

•En el Plano Cartesiano una parábola puede tener su vértice en cualquier par de coordenadas y puede estar orientada hacia arriba, hacia abajo o hacia la izquierda o la derecha.

ECUACIÓN DONDE EL VÉRTICE 

•Primeramente, estudiaremos la ecuación de la parábola para los casos en que su vértice esté en el origen (coordenadas (0, 0) del Plano Cartesiano), y según esto, tenemos cuatro posibilidades de ecuación y cada una es característica.

•Para iniciar nuestra explicación empezaremos con la parábola cuyo vértice está en el origen, su eje focal o de simetría coincide  con el eje de las X (abscisas) y que está orientada (se abre)  hacia la derecha. Por definición, sabemos que, en una parábola  la distancia entre un punto “P” (no confundir con el “parámetro p”),   cualquiera de coordenadas (x, y), y el foco “F”  será igual a la distancia entre la directriz (D) y dicho punto, como vemos en la figura:

De lo anterior resulta:

y2 = 4px

•Información importante: El parámetro p (que marca la distancia focal)  señala  la distancia entre el foco y el vértice, que es igual a la distancia entre el vértice y la directriz. Si en la ecuación de la parábola la incógnita x es la elevada al cuadrado, significa que la curvatura de la misma se abre hacia arriba o hacia abajo, dependiendo  del signo del parámetro  cuando el parámetro p es positivo, la parábola se abre “hacia arriba” y cuando es negativo se abre “hacia abajo". Ahora, si en la ecuación de la parábola la incógnita y es la elevada al cuadrado, la curvatura de la misma será hacia la derecha o hacia la izquierda. En este caso, cuando el parámetro p es positivo, la parábola se abre “hacia la derecha” y cuando es negativo se abre “hacia la izquierda”

•Longitud del lado recto (LR)

Tal como dedujimos la ecuación anterior, es posible deducir la ecuación que nos permita calcular la longitud del lado recto (cuerda que pasa por el foco, perpendicular al eje focal o de simetría):No desarrollaremos el camino y sólo diremos, para recordar, que el lado recto es igual a 4p Ejemplo: Obtener la ecuación, el foco y la directriz de la parábola con vértice en el origen y que contiene al punto B(3, 4), además su eje de simetría (o eje focal) es paralelo al eje X.

Resolución: El punto B (3, 4) nos indica que

X = 3

Y = 4 

Sustituyendo las coordenadas del punto B en la ecuación

Entonces la ecuación será:

Y el Foco estará en el punto 4/3, 0

Vemos que 4/3 corresponde al valor de p, y como la directriz está a la misma distancia de p respecto al vértice, pero hacia el lado contrario, entonces, la directriz será:

ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA CUYO VÉRTICE ESTA  EN EL ORIGEN

•Ahora analizaremos los casos en que se puede obtener la ecuación que describe una parábola cuyo vértice no coincide con el origen del sistema de ejes coordenados. Cuando el vértice de la parábola se localiza en cualquier punto, por convención ubicado en las coordenadas (h, k), y distinto al origen, la ecuación que describe a la parábola cambia en función de la posición de este punto y de la orientación de apertura respecto de los ejes x e y. Debido a estas características, también tenemos cuatro posibilidades de ecuaciones de parábolas cuyo vértice está fuera del origen del sistema de ejes coordenados.

•Primera posibilidad:

Que la parábola se abra hacia la derecha (sentido positivo) en el eje de las abscisas “X”.

•Segunda posibilidad:

Que la parábola se abra hacia la izquierda (sentido negativo) del eje de las abscisas “X”.

•Tercera posibilidad:

Que la parábola se abra hacia arriba (sentido positivo) del eje de las ordenadas “Y”

•Cuarta posibilidad:

Que la parábola se abra hacia abajo (sentido negativo)  del eje de las ordenadas “Y”.

Recuerde que en todos los casos anteriores la longitud del lado recto siempre será LR = 4p.

EJEMPLO

•Encontrar la ecuación de la parábola con vértice en el punto (3, 2) y foco en (5, 2).

•Desarrollo

Al analizar las coordenadas de vértice (3, 2) y foco (5, 2), vemos que su ordenada es común (y = 2), por lo que se concluye que están alineados horizontalmente y que el foco está a la derecha del vértice.

Según ya vimos, en este caso la ecuación que resulte tiene la forma(y – k)2 = 4p(x – h)

Siendo las coordenadas del vértice (h, k), se sustituyen en la ecuación y resulta:(y – 2)2 = 4p(x – 3)En donde el parámetro p representa la distancia del vértice al foco, que podemos calcular por diferencia de las abscisas correspondientes: p = 5 – 3p = 2

Sustituyendo:

(y – 2)2 = 4(2)(x – 3)

Queda

(y – 2)2 = 8(x – 3)

Ecuación escrita en la forma ordinaria o canónica.